一部部科学经典著作，犹如人类文明史上璀璨的里程碑，奠定了现代科学基石，铺就了人类进步的阶梯。今天，让我们一起走近《数学家彼得·拉克斯》，了解这位阿贝尔奖得主数学智慧照亮科学前沿的传奇人生。
欧洲近代史中，在匈牙利这个约有一千万人口的小国，在19世纪末至20世纪初的五十年间，诞生了一批杰出人士。他们当中有空气动力学家冯·卡门 （Theodorevon Kármán，1881-1963）、数学家波利亚（George Pólya，1887-1985）、物理学家西拉德（Leo Szilard，1898-1964）、化学家德·赫维西（George de Hevesy，1885-1966）及经济学家哈萨尼（John Charles Harsanyi，1920-2000）。这些智者常常被称为“火星人（The Martians）”，该术语首创于西拉德的一句玩笑，说的是20世纪上半叶从欧洲移民到美国的那些卓越的匈牙利科学家。
匈牙利物理学家兼科学史家马克思 (György Marx，1927-2002)，在其专写匈牙利科学家的书《火星人的声音》（The Voice of the Martians）中，直接将“火星人”放进了标题。他写道：
“宇宙浩瀚无垠，包含着无数的恒星……最简单的生物会不断繁衍，通过自然选择进化，变得更加复杂，最终出现活跃且具有思维能力的生物。他们渴望新的世界……他们应该遍布整个银河系。这些才华横溢的人很难忽视像我们地球这样美丽的地方。那么，费米提出了他那个令人难以抗拒的问题：‘如果这一切一直在发生，他们现在应该已经到达这里了，那么他们在哪里？’——利奥·西拉德，一个有着顽皮幽默感的人，对费米悖论给出了完美的解答：‘他们在我们中间，’他说，‘但他们自称匈牙利人’。”
2025年5月16日，“火星人”中最晚出生者之一、当代数学家彼得·拉克斯（PéterLax，1926-2025）走完了他长达九十九年的一生。他同样漫长的学术人生，以匈牙利数学神童起步，十五周岁跨越大西洋抵达美利坚；读大学时，他将青春和才华献给了二战中的原子弹研制工程，十八周岁发表了第一篇学术论文，战后于柯朗（Richard Courant，1888-1972）在纽约大学创立的数学科学研究所，成长为美国数学界的领袖人物。
我读过一本书《数学家彼得·拉克斯》（Peter Lax, Mathematician: An Illustrated Memoir），这是一本图文并茂的回忆录。书的封面印上了一张拉克斯的彩色照片，他站在大黑板前的讲台边，头颅微微上扬，左手翻开一本书，显露出数学家的独特气质。写书人赫什（Reuben Hersh，1927-2020）仅比拉克斯小一岁半，却是后者的博士生。
现在，我们就从拉克斯的祖国出发，沿着他走过的数学之路，琢磨他留下的深深脚印，探寻他将理论与实践相结合实践史。
匈牙利数学神童
在数学史上，匈牙利最传奇的数学家是非欧几何创始人之一波耶（János Bolyai，1802-1860）。
匈牙利数学的蓬勃发展，一方面由于数学家阿拉尼（Dániel Arany，1863-1945）在1894年创立的《中学数学杂志》（Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok），其中的“问题征解”，激励了许多数学爱好者；也得益于“厄特沃什竞赛”，它以物理学家厄特沃什（Loránd Eötvös，1848-1919）的名字命名。一百年前这个竞赛的优胜者中涌现出了一大批卓越的数学家，堪称“匈牙利奇迹”。他们当中有黎斯兄弟——弗里杰斯（Frigyes Riesz，1880-1956）和马塞尔（Marcel Riesz，1886-1969）、合作者波利亚和赛格（Gábor Szegő，1895-1985）、布达佩斯大学数学教授费耶尔（Lipót Fejér，1880-1959）。对他们深有影响的匈牙利数学家柯尼希（Gyula Kőnig，1849-1913），是德国数学家克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）的弟子。柯尼希的儿子戴尼斯（Dénes Kőnig，1884-1944）写出世界上第一本图论著作。
20世纪最著名的“火星人”可能是冯·诺伊曼（John von Neumann，1903-1957），他于1903年降生于布达佩斯一个富有的银行家之府。时间过了近二十三年，又一个“火星人”降落到同城一家也很富有的医生之家。这个男孩名叫彼得·拉克斯，有个哥哥叫约翰（John Lax，1925-2023），后者长大后成了一名有文学素养的物理学家。他们的父亲亨里克(Henrik Lax，1895-1990)与母亲克拉拉·科恩菲尔德（Klara Kornfield，1895-1973）都是内科医生，年轻时相识于医学院。
约翰和彼得少年时期堪称幸福，父母恩爱、生活富足，家有保姆和厨师。好日子持续到二战爆发。父母当机立断，决定全家前往大洋彼岸。1941年11月25日，拉克斯医生夫妇拿到了赴美签证，当日带着两个儿子上了火车奔赴葡萄牙里斯本，待到12月5日全家乘船前往纽约，这是之后四年中离开欧洲的最后一艘美国客船。
少年拉克斯对数学表现出兴趣是在他十二岁那年。除了与生俱来的聪慧大脑外，以工程师为职业而以数学家为内涵的舅舅对他很有影响。舅舅科恩菲尔德（Albert Kornfield，1898-1995）是厄特沃什竞赛的数学赛折桂者，他和数学赛亚军但为物理赛冠军的西拉德成了终生朋友。当西拉德和爱因斯坦设计出一种新式冰箱时，科恩菲尔德进行了工程设计。
彼得进了明塔中学后，对数学的浓厚兴趣爆发。发现次子数学早慧的父母请来了女性数学博士罗莎·彼得（Rózsa Péter，1905-1977）担任他的私人教师。她把拉克斯引入了终生献身数学的大道。有趣的是，老师的姓和学生的名拼写完全一样，似乎意味着师徒二人早就有了“数学情缘”。
彼得博士可不是普通数学人物，她之后成为数理逻辑的一名强者，被誉为“递归函数之母”，晚年被选为首位匈牙利科学院女院士。对于这位引路人，拉克斯回忆道：
“罗莎·彼得真棒。她沉浸于数学，对人们怎样思考感兴趣。那时我十二三岁，她做的第一件事是让我读汉斯·拉德马赫和奥托·特普利茨合写的《数学欣赏》。”
这本脍炙人口的经典作品振奋了许多青少年，培养出他们对数学推理的热爱，也加速了拉克斯的成长。彼得老师不满足于仅灌输知识，而是常会激励小彼得“你能自己证明吗？下周来试一下吧。”老师还带他去听数学演讲，他成了最年轻的参会者。
1940年，彼得博士让年仅十四岁的拉克斯非官方地参加了厄特沃什竞赛，因为他不是高中生，还不够资格注册参加。正式参赛者们坐在封闭的房间里攻克三道竞赛题。拉克斯拿到题目后完美解答。第二年他再次非正式参赛，同样做对了所有三道题，成了数学竞赛的“无冕之王”。
拉克斯离开匈牙利前，彼得博士和柯尼希教授给在美国的冯·诺伊曼和赛格各自写了信，请他们关注这位十五岁少年的非凡潜力。赛格太太是拉克斯母亲的第一代表亲，赛格自然会关照这个数学早熟的小亲戚。柯尼希给冯·诺伊曼的信写于1941年11月12日：
“我与年轻的彼得在数学领域接触已有一年多。通过与他的私人交谈以及他所做的计算工作（包括解决基础数学问题），我确信这位年轻人拥有非凡的数学天赋。例如，连续两年，他在数学和物理学会的竞赛中，都以远超正式参赛学生的水平完成了任务。如果能够进一步培养和支持这位杰出的人才，这不仅符合彼得的利益，也符合整个社会的利益。因此，我恳请您，如果彼得·拉克斯向您提出问题或寻求建议，请您以对待未来科学家应有的善意回应他。”
美国成长岁月
抵达美国后，拉克斯全家定居纽约，彼得进了史岱文森高中读书，但从未修过数学课，因为这些课对他而言太初等。还在读高中时，长他十三岁的祖国同胞埃尔德什（PaulErdős，1913-1996）邀请他访问了普林斯顿高等研究院，特地向爱因斯坦介绍他是一位前途无量的匈牙利年轻数学家。果然，拉克斯一生中发表的首篇数学文章，解决了埃尔德什的一个猜想，证实埃尔德什之前的断言不假。
因为受到祖国数学家朋友的重托，冯·诺伊曼对拉克斯很关心，建议他读完高中后去找自己在哥伦比亚大学的合作者默里（Francis Murray，1911-1995）。而赛格建议他去投奔柯朗，因为柯朗不仅善于同年轻人一起工作，而且建立了一个哥廷根大学数学研究所式的研究机构。拉克斯认为“这是最好不过的建议”。
于是，拉克斯先在纽约大学读了三个学期。他成了明星学生，比如，在一门复分析课程结束前，他就成了该课的“讲师”。身材高大、长相英俊的他也在课堂里遇见了他未来的太太安妮莉·卡恩（Anneli Cahn，1922-1999）。
在完成学业前，拉克斯被征召入伍美国陆军。不久他被送到得克萨斯农工大学继续深造，随后又被派往橡树岭国家实验室，继而进了洛斯阿拉莫斯的原子弹曼哈顿计划。在那里他从计算器操作员干起，但最终转向数学研究。1944年，他发表了首篇学术论文《对埃尔德什关于多项式导数的一个猜想的证明》（Proof of a conjecture of P. Erdős on the derivative of a polynomial）。根据谷歌学术网页上的记录，该文迄今为止已被引用了五百多次。
二战结束后，拉克斯在洛斯阿拉莫斯又待了一年，同时在新墨西哥大学修课，然后又去斯坦福大学塞格和波利亚处学习了一个学期。1946-1947学年，他回到纽约大学，当年毕业。拉克斯留在了纽约大学攻读研究生学位，导师为德裔数学家弗里德里希斯（Kurt Friedrichs，1901-1982），于1949年获博士学位，博士论文是《两个独立变量的非线性双曲偏微分方程组》（Nonlinear System of Hyperbolic Partial Differential Equations in Two Independent Variables）。
拉克斯和安妮莉于1948年结婚，他们恩爱一生，共同生活到金婚之年，直至太太去世。安妮莉去世后，拉克斯迎娶了柯朗的小女儿、乐团首席中提琴家洛里（Lori Courant，1928-2015）。
二十三周岁即被人称为“博士”的拉克斯，没有忘记事业起步的宝地洛斯阿拉莫斯国家实验室，于1950年再度返回那里工作了一年。第二年，他回到纽约大学柯朗数学科学研究所担任助理教授，从此他再也没有离开这个研究所。1958年，他升为正教授，从1972年到1980年，他担任所长。
拉克斯的科学人生成长史是天才基因、名师指点加上个人奋斗的嫁接果实。少年时代巧遇彼得博士而被精心栽培成可造之才，青年时代被一代巨匠弗里德里希斯带进了偏微分方程的广阔天地，在之后大约一个甲子的科学活动中，他的累累成果，震撼了数学世界，获得了诸多国际奖励。
此外他是下述科学院的院士或外籍院士：美国国家科学院；美国艺术和科学院；法国科学院；苏联科学院；匈牙利科学院；中国科学院。他是全世界十一所大学的名誉博士，包括北京大学（1993）。
拉克斯的数学成就
因为我是计算数学专业出身，我将首先介绍拉克斯对数值分析领域最著名的贡献——“拉克斯等价原理”，这是关于求解偏微分方程数值解三个概念——相容性、稳定性和收敛性之间关系的一条基本原理。它出自拉克斯与美国物理学家和数学家里希特迈尔（Robert Richtmyer，1910-2003）于1956年在《纯粹与应用数学通讯》上发表的论文《线性有限差分方程稳定性综述》（Survey of the stability of linear finite difference equations）。
解微分方程的差分方法基本思想是用差商取代导数，将给定的微分方程转化成代数方程组，其未知元是原先连续方程的解在离散网格点上的函数值。相容性意味着差分方程“逼近”微分方程，稳定性指的是当网格尺寸越来越小时，对应差分格式的解不会“崩溃”，收敛性则表示当网格尺寸趋向于零时，差分方程的解“收敛”到微分方程的精确解。
这三个概念之间的关系如何？之前有数值工作者认为，不稳定数值格式的崩溃是由于舍入误差的放大。在洛斯阿拉莫斯国家实验室，拉克斯听了一个报告，演讲者也肯定了上一句断言，并说如果有一台有无穷精度的计算机，那么甚至不稳定的格式也会收敛。
在这个流行的观点下，有人说，为了确认格式的有效性，必须同时证明稳定性和收敛性。然而，拉克斯等价原理指出：求解线性偏微分方程，一个相容的数值逼近格式是收敛的当且仅当它是稳定的。这个定理的价值在于它否定了不稳定格式的收敛性，纠正了之前的错误认识。然而，如此重要的结论，其严格数学证明只有大概一页纸长，仅基于泛函分析中的“一致有界原理”，是抽象分析学结果的一个直接应用。这正显示了拉克斯的强项：将纯粹数学的思想用于解决实际问题。拉克斯在三十岁时展现给世人的这项工作，也隐含了一个关键性的理念：要想在计算数学做出有影响力的工作，纯粹数学的根基很起作用。
上面讲的是拉克斯在偏微分方程的计算方面作出的贡献，它具有基本的重要性，因而最广为人知。他对于偏微分方程领域影响力巨大的一项纯理论性研究在1957年问世：《振荡初值问题的渐近解》（Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems），登于《杜克数学杂志》。我们引用拉克斯对此项工作的三句话来领略一下这篇文章的重要性：“它是对正在发生的事情的微局部描述。它结合了从宏观和微观两个角度来看待问题，这赋予了它强大的力量。微局部观点的数值实现是通过小波及其类似的方法，这些方法在数值上非常强大。”
文章中的“微局部”思想，后来被1962年菲尔兹奖得主霍尔曼德尔（Lars Hörmander，1931-2012）等人推广，构成了一门新学问“傅里叶积分算子微积分”。拉克斯的博士生导师弗里德里希斯以及在柯朗数学科学研究所的同学兼同事尼伦伯格（Louis Nirenberg，1925-2020）也位列其中，他们发展出了“伪微分算子”这一通过傅里叶变换的微分算子推广物。该术语也称为“微局部分析”。
拉克斯在其深耕的散射理论和激波领域（两者均横跨纯粹数学和应用数学）留下了专著，其中对散射理论他写了两本书，都是和泛函分析名家菲利普斯（Ralph Phillips，1913-1998）合著的，分别为1967年出版、1989年修订再版的《散射理论》（Scattering Theory）和1976年出版的《自守函数的散射理论》（Scattering Theory for Automorphic Functions）。数学史上德国人克莱因（Felix Klein，1849-1925）同法国人庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）暗地里竞赛研究自守函数，前者最终因身体透支而败下阵来，可见这是挑战过人类高智商人物的一个学科。拉克斯和菲利普斯能将具体欧氏空间的散射理论推广到更加抽象的散射理论，实属非凡的创造。
《自守函数的散射理论》和《双曲守恒定律系统和激波的数学理论》
拉克斯于1973年由美国工业与应用数学学会出版了一部包含激波理论的专著《双曲守恒定律系统和激波的数学理论》（Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves）。之后的几十年间，激波计算成为科学计算领域中的一个重要组成部分。
普及数学的先锋
拉克斯不局限于只当数学科学家，终其一生他还是一位积极的数学教育家，写了多部风格独特、极受欢迎的教科书，范围广博，从微积分、线性代数到泛函分析都有。他的书也教得很好，和他的前辈冯·卡门一样广受称赞。在他获得的众多奖项中，便包括1995年纽约大学授予他的杰出教学奖。此外，他为美国数学协会的旗舰杂志《美国数学月刊》写了多篇阐述性文章。
拉克斯写教科书的一个动因是对同类教材的不甚满意，于是决定亲自出马。照理说，像他这样的创造型大学者，对写教材这类事，尤其是像微积分这样的“初等教科书”，不必劳驾自己下山操刀了，况且研究家们大都在忙于研究，很难挤出时间写作大学生读物。这里仅以拉克斯出版的《线性代数》（Linear Algebra）研究生教材为例，试图梳理他对教科书写作的理念。
几十年来，有两类线性代数的教材，一种可视为“有限维空间的泛函分析”，这种充满集合论语言的写作风格，以匈牙利裔美国数学家哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的经典名著《有限维向量空间》（Finite Dimensional Vector Spaces）为代表。另一种则以矩阵为工具，以计算为特色，展现了许多与求解线性方程组相关的技术和定理。前者可能对训练未来的分析数学家有益，应用学科的学生可能更钟情后者。
认识到线性代数在高速计算机时代“线性数值分析”中越发重要的作用，拉克斯在他的《线性代数》中放进了不少对当代科技发展十分有用但在其他教材中鲜为人知的“分析结果”，并插入了许多物理应用诠释这些理论。他在该书的导言中坦诚指出，“线性代数美妙之处，对分析学家和物理学家如此有用，却经常在教科书中被忽略”。他的目的是减少理论与应用之间的失衡，用纯粹数学之手，写出应用数学之书。
一篇刊登在2001年11月期《美国数学月刊》上的书评这样写道：“我认为这本书值得在每个数学家的书架上都占有一席之地。它的证明直接、新颖、优雅，其呈现方式也启发人们重新思考那些有时过于千篇一律的内容。”
分析数学家克兰茨（Steven G. Krantz，1951-）对拉克斯于2002年出版的研究生教科书《泛函分析》（Functional Analysis）的书评是：“本书的学习者将获得真正的教育——不仅在基础泛函分析方面，更在实际的泛函分析实践方面。本书之所以具有真正的力量和权威，是因为它是由一位在过去六十年中推动这些思想发展的大师所著。”
因其出色的阐述性写作，拉克斯于1974年荣获美国数学协会的肖维内奖，这是它每年颁发的最高写作奖。他发表于《美国数学月刊》的文章被这个全世界读者人数最多的数学杂志授予莱斯特·R·福特奖两次。第一次是在1966年，获奖的文章是《偏微分方程的数值解》（Numerical solutions of partial differential equations），第二次是在七年后，获奖文章为《激波的形成和衰减》（The formation and decay of shock waves）。
拉克斯与他的前辈同胞科学巨人冯·诺伊曼在许多方面很相像。他们都是公认的数学奇才，在数学的多个领域留下深刻的印记，都脚踏纯粹数学与应用数学的“连环大船”，乘风破浪，所向披靡。
拉克斯对冯·诺伊曼佩服得五体投地，多次在写作或演讲中提及他的天才和洞见。某次当他谈论冯·诺伊曼的科学通信时，这样写道：“要衡量冯·诺伊曼的成就，不妨想象一下，如果他能活到正常的年龄，他肯定会获得诺贝尔经济学奖。如果诺贝尔奖设立计算机科学和数学奖，他也会获得这些奖项。因为他在物理学，尤其是量子力学方面的贡献，这些信件的作者应该被认为是三项诺贝尔奖得主，或者可能是三个半诺贝尔奖得主。”
至于拉克斯，他是继承冯·诺伊曼衣钵的新一代“火星人”。他的逝世，意味着参加过洛斯阿拉莫斯核弹研制的那批科学家中的最年轻的一位，走进了历史。他的数学伟绩和精彩人生将被人铭记，数学家们在追求数学真理、应用数学知识的大道上继续跟随他的脚步勇往直前。
科学经典推荐
《数学家彼得·拉克斯》
【美】赫什著
赫什将书中主角描绘得栩栩如生，在他笔下，拉克斯一次次地展示了应用数学的理论丰富性，“为纯粹数学和应用数学这两个密不可分、不甚相容的孪生学科之间通常可见的相互不尊重提供了一个独特的例外”。
来源：“返朴”公众号
撰文：丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）